Question

【题目】已知函数，对任意的，满足，其中为常数．

（Ⅰ）若,求在处的切线方程；

（Ⅱ）已知,求证；

（Ⅲ）当存在三个不同的零点时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）代入，然后求出函数在处的切线方程

（Ⅱ）写出的表达式，令，根据的取值范围，得到的单调性，即可得证

（Ⅲ）对求导，讨论在不同的的取值范围下的单调性，进而讨论其零点的个数，即可求出存在三个不同零点时的取值范围。

（Ⅰ）在中，取，得，

又,所以.

从而，

,，

又切点为，所以切线方程为.

（Ⅱ）证明：

令，

则

所以，时，，单调递减，

故时，

所以时，

（Ⅲ）

①当时，在(0，＋∞)上，，递增，

所以，至多有一个零点，不合题意；

②当时，在(0，＋∞)上，，递减，

所以，也至多有一个零点，不合题意；

③当时，令，

解得

此时，在上递减，上递增，上递减，

所以，至多有三个零点．

因为在上递增，所以.

又因为，所以，使得

又，

所以恰有三个不同的零点：.

综上所述，当存在三个不同的零点时，的取值范围是.