Question

5．某学生参加3个项目的体能测试，若该生第一个项目测试过关的概率为$\frac{4}{5}$，第二个项目、第三个项目测试过关的概率分别为x，y（x＞y），且不同项目是否能够测试过关相互独立，记ξ为该生测试过关的项目数，其分布列如下表所示：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{6}{125}$	a	b	$\frac{24}{125}$

（1）求该生至少有2个项目测试过关的概率；
（2）求ξ的数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A_i表示“该生第i个项目测试过关”，i=1，2，3，依题意，$P（{A_1}）=\frac{4}{5}，\;\;P（{A_2}）=x，\;\;P（{A_3}）=y$，先求出x，y，由此能求出a，b，从而能求出该生至少有2个项目测试过关的概率．
（Ⅱ）由E（ξ）=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3），能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）设事件A_i表示“该生第i个项目测试过关”，i=1，2，3，
依题意，$P（{A_1}）=\frac{4}{5}，\;\;P（{A_2}）=x，\;\;P（{A_3}）=y$，
因为$\left\{\begin{array}{l}P（ξ=0）=\frac{1}{5}（1-x）（1-y），\;\;\\ P（ξ=3）=\frac{4}{5}xy，\;\;\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{5}（1-x）（1-y）=\frac{6}{125}，\;\;\\ \frac{4}{5}xy=\frac{24}{125}，\;\;\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ xy=\frac{6}{25}\end{array}\right.$且x＞y，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{5}，\;\;\\ y=\frac{2}{5}，\;\;\end{array}\right.$…（4分）
于是，$a=P（ξ=1）=P（{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）+P（\overline{A_1}{A_2}\overline{A_3}）+P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）$=$\frac{4}{5}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{37}{125}$，$b=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-\frac{6}{125}-\frac{37}{125}-\frac{24}{125}=\frac{58}{125}$，
故该生至少有2个项目测试过关的概率：$P（ξ=2或ξ=3）=\frac{58}{125}+\frac{24}{125}=\frac{82}{125}$．…（8分）
（2）由（1）得：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{6}{125}$	∴$\frac{37}{125}$	$\frac{82}{125}$	$\frac{24}{125}$

E（ξ）=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）
=$0×\frac{6}{125}$+$1×\frac{37}{125}$+2×$\frac{58}{125}$+$3×\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，历年高考中都是必考题型之一．