Question

（2011•广州模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，sin∠BAD=

5

13

，cos∠ADC=

3

5

．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求BD的长．

Answer 1

分析：（1）通过cos∠ADC=

3

5

，求出sin∠ADC，利用sin∠BAD=

5

13

，求出cos∠BAD，通过sin∠ABD=sin（∠ADC-∠BAD），直接利用两角差的正弦函数求解即可．
（2）在△ABD中，由正弦定理，直接求BD的长．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）因为cos∠ADC=

3

5

，
所以sin∠ADC=

1-cos2∠ADC

=

4

5

．…（2分）
因为sin∠BAD=

5

13

，
所以cos∠BAD=

1-sin2∠BAD

=

12

13

．…（4分）
因为∠ABD=∠ADC-∠BAD，
所以sin∠ABD=sin（∠ADC-∠BAD）
=sin∠ADCcos∠BAD-cos∠ADCsin∠BAD …（6分）
=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．…（8分）
（2）在△ABD中，由正弦定理，得

BD

sin∠BAD

=

AD

sin∠ABD

，…（10分）
所以BD=

AD×sin∠BAD

sin∠ABD

=

33× 5 13

33 65

=25．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，角的变换的技巧，正弦定理的应用，考查计算能力．