Question

下列关于平面向量的命题中是真命题的是

④⑤

（写出所有你认为是真命题的序号）．
①若

a

2=

b2

，则

a

=

b

或

a

=-

b

；
②使

a

| a |

=

b

| b |

成立的充分条件是

a

∥

b

；
③若

a

，

b

都是非零向量，则“|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|”是“?λ∈R，使得

a

=λ

b

”的充分不必要条件；
④若

a

，

b

均为单位向量，其夹角为θ，则“|

a

-

b

|＞1”是“θ∈(

π

3

，π)”的充要条件；
⑤向量

a

，

b

(

a

≠

0

，

a

≠

b

)满足|

b

|=1，且

a

与

b

-

a

的夹角为150°，则|

a

|的取值范围是（0，2]．

Answer 1

分析：①若

a

2=

b2

，则|

a

|=|

b

|；②使

a

| a |

=

b

| b |

成立的充分条件是

a

a

与

b

同向；③“|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|”是“?λ∈R，使得

a

=λ

b

”的不充分不必要条件；④|

a

-

b

|＞1?

π

3

＜θ＜π；⑤由题设条件作出单位圆，数形结合能够作出正确判断．

解答：解：①若

a

2=

b2

，则|

a

|=|

b

|，故①错误；
②使

a

| a |

=

b

| b |

成立的充分条件是

a

∥

b

，且

a

与

b

同向，故②错误；
③若

a

，

b

都是非零向量，
“|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|”⇒“

a

⊥

b

”，
∴“|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|”是“?λ∈R，使得

a

=λ

b

”的不充分不必要条件，故③错误；
④充分性：∵

a

，

b

均为单位向量，其夹角为θ，∴0≤θ≤π，
∵|

a

-

b

|＞1，
∴

a

2+

b

2-2|

a

||

b

|cosθ=2-2cosθ＞1，
解得cosθ＜

1

2

，∴

π

3

＜θ＜π．
必要性：∵

π

3

＜θ＜π，∴cosθ＜

1

2

，
∴

a

2+

b

2-2|

a

||

b

|cosθ=2-2cosθ＞1，
∴|

a

-

b

|＞1，
故“|

a

-

b

|＞1”是“θ∈(

π

3

，π)”的充要条件，故④正确；
⑤∵

a

，

b

(

a

≠

0

，

a

≠

b

)满足|

b

|=1，且

a

与

b

-

a

的夹角为150°，
∴作出如图的单位圆，取

OB

=

b

，

OA

=

a

，必须满足∠OAB=30°，
当AB与圆O相切时，|

a

|_max=|OA|=2|OB|=2，
∴|

a

|的取值范围是（0，2]，故⑤正确．

故答案为：④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意平面向量知识的合理运用．