Question

20．给出下列命题：
①存在实数x，使sinx+cosx=$\frac{3}{2}$；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
③函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函数；
④要得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，只需将函数y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度．
其中正确命题的序号是③．（把正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 求出sinx+cosx的值域，可判断①；举出反例α=390°，β=30°，可判断②；利用诱导公式化简函数解析式，进而判断其奇偶性，可判断③；根据函数图象的平移变换法则，可判断④．

解答 解：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\frac{3}{2}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故①错误；
α=390°，β=30°是第一象限角，且α＞β，但cosα=cosβ，故②错误；
函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{2}{3}$x，满足f（-x）=f（x）恒成立，是偶函数，故③正确；
将函数y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，可得函数y=sin[2（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，故④错误；
故正确命题的序号是：③，
故答案为：③．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦型函数的值域，奇偶性，平移变换法则，单调性，是三角函数图象和性质的综合应用，难度中档．