Question

如图,已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是以∠C为直角的等腰直角三角形,AC=BC=CC₁=2,M、N分别在棱CC₁、A₁B₁上,N是A₁B₁的中点.

(1)若M是CC₁的中点,求异面直线AN与BM所成的角;

(2)若点C关于平面ABM的对称点恰好在平面ABB₁A₁上,试确定M点在CC₁上的位置.

Answer 1

解:(1)以CB、CA、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),C₁(0,0,2),A₁(0,2,2),B₁(2,0,2),由于N是A₁B₁的中点,M是CC₁的中点,所以M(0,0,1),N(1,1,2).

    于是=(1,-1,2), =(-2,0,1),因此cos〈,〉==0,所以异面直线AN与BM所成的角等于90°.

    (2)设M(0,0,z)(01A₁上,取AB的中点D,连结CD、ND、MD,易知CD⊥AB,ND⊥AB,所以AB⊥平面C₁NDC,而AB平面ABM.所以平面ABM⊥平面C₁NDC.又平面ABM∩平面C₁NDC=DM,过C作CH⊥DM,则CH⊥平面ABM,延长CH至P,使PH=CH,则点P就是点C关于平面ABM的对称点.

    所以P点在平面C₁NDC中,

    又P点恰好在平面ABB₁A₁上,

    所以P点应该在直线ND上.

    由于D(1,1,0),

    所以=(1,1,-z),而点H在线段MD上.

    所以设=λ·=(λ,λ,-λz),

    则=+=(λ,λ,z-λz).

    故=2=(2λ,2λ,2z-2λz),

    所以P(2λ,2λ,2z-2λz),

    于是=(2λ-1,2λ-1,2z-2λz),

    而=(0,0,2),

    由于P点应该在直线ND上,且DC=DP,

    所以

    解之,得z=.

    所以当点C关于平面ABM的对称点恰好在平面ABB₁A₁上时,CM=.