Question

已知函数f ( x ) = x³ + ax² + bx + c 在x =1 处有极值，f ( x )在x = 2处的切线l不过第四象限且倾斜角为，坐标原点到切线l的距离为。

（Ⅰ）a、b、c的值；

（Ⅱ）求函数y = f ( x )在区间上的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）由f (x) =x³+ax²+ bx +c，得f′(x) = 3x² + 2ax + b

∵x = 1 时f ( x )有极值，  

∴f′( 1 ) = 3 + 2a + b = 0          ①

∵f ( x )在x = 2处的切线l的倾斜角为，

∴f′(2) = 12+4a+b =tan=1    ②

由①②可解得a = 4 , b = 5

设切线l的方程为y =x+m，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为，可得m =±1，

又切线不过第四象限，所以m = 1 ，切线方程为y = x + 1

∴切点坐标为（2，3），

∴f ( 2 ) = 8 16 + 10 + c = 3 ，所以 c = 1

故a = 4 , b = 5 , c = 1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) =x³4x²+5x+1 , f′(x)= 3x² 8x + 5 = (x 1) (3x5)

∵x∈[1,] ,

∴函数f (x)在区间[1，1]上递增，在上递减

又f ( 1 ) = 9 ， f ( 1 ) = 3 ，  

∴f ( x )在区间上的最大值为3，最小为 9