Question

已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B．若直线PA和直线PB互相垂直，求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用对称性，确定圆C的方程，求出两半径之和，即可判断圆C与圆M的位置关系；
（2）分类讨论，设出直线的方程求出点C到PA、PB的距离，即可得出结论．

解答：解：（1）设圆心C（a，b），则

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得a=0，b=0
则圆C的方程为x²+y²=r²，将点P的坐标代入得r²=2，故圆C的方程为x²+y²=2
∴CM=2

2

，又两半径之和为2

2

，∴圆M与圆C外切．
（2）若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在，则PA=PB=2，此时PA+PB=4．
若直线PA与PB斜率都存在，且互为负倒数，故可设PA：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，（k≠0）
点C到PA的距离为

|k+1|

1+k2

，同理可得点C到PB的距离为

|k-1|

1+k2

，
∴PA+PB=2(

2- (1-k)2 k2+1

+

2- (1+k)2 k2+1

)=2（

1- 2k k2+1

+

1+ 2k k2+1

），
（PA+PB）²=4（2+2

1- 4k2 (k2+1)2

）＞8
∴PA+PB≥2

2

，
综上：l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最小值为2

2

．

点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．