Question

6．已知λ∈R，函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{|{x+1}|，x＜0}\\{lgx，x＞0}\end{array}}\right.$g（x）=x²-4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（　　）

• A． $（0，\frac{2}{3}）$
• B． $（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$
• C． $（\frac{2}{5}，\frac{1}{2}）$
• D． $（0，\frac{2}{5}）$

Answer 1

分析 令g（x）=t，画出y=f（t）与y=λ的图象，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t₁=-1-λ，t₂=-1+λ，t₃=10^λ再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．

解答 解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．
且三个解分别为t₁=-1-λ，t₂=-1+λ，t₃=10^λ，
则x²-4x+1+4λ=-1-λ，x²-4x+1+4λ=-1+λ，
x²-4x+1+4λ=10^λ，均有两个不相等的实根，
则△₁＞0，且△₂＞0，且△₃＞0，
即16-4（2+5λ）＞0且16-4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜$\frac{2}{5}$，
当0＜λ＜$\frac{2}{5}$时，△₃=16-4（1+4λ-10^λ）＞0即3-4λ+10^λ＞0恒成立，
故λ的取值范围为（0，$\frac{2}{5}$）．
故选D．

点评 本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度．