Question

平面α内有四个点，平面β内有五个点．从这九个点中，任取三点最多可确定 ______个平面；任取四点最多可确定 ______个四面体．（用数字作答）

Answer 1

从9个点中取3时，确定的平面分以下几种情况：
①当三点均在平面α内时，确定的平面即为α，即满足条件的平面有1个；
②当三点均在平面β内时，确定的平面即为β，即满足条件的平面有1个；
③当三点在平面α内取两个点，在平面β内取一个点时，确定的平面个数有C₄²C₅¹=30个，
④当三点在平面α内取一个点，在平面β内取两个点时，确定的平面个数有C₄¹C₅²=40个，
故满足答案的平面共有72个；
从9个点中取3时，确定的四面体分以下几种情况：
①当四点在平面α内取三个点，在平面β内取一个点时，确定的平面个数有C₄³C₅¹=20个，
②当四点在平面α内取二个点，在平面β内取两个点时，确定的平面个数有C₄²C₅²=60个，
③当四点在平面α内取一个点，在平面β内取三个点时，确定的平面个数有C₄¹C₅³=40个，
故满足答案的四面体共有120个；
故答案：72，120