Question

设两向量e₁、e₂满足|

e

1|=2，|

e

2|=1，

e

1、

e

2的夹角为60°，若向量2t

e

1+7

e

2与向量

e

1+t

e

2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：欲求实数t的取值范围，先根据条件，利用向量积的运算求出（2t

e

1+7

e

2）•（

e

1+t

e

2）的值，由于夹角为钝角，所以计算得到的值是负值，最后解出这个不等式即可得到实数t的取值范围．

解答：解：

e

1²=4，

e

2²=1，

e

1•

e

2=2×1×cos60°=1，
∴（2t

e

1+7

e

2）•（

e

1+t

e

2）=2t

e

1²+（2t²+7）

e

1•

e

2+7t

e

2²=2t²+15t+7．
∴2t²+15t+7＜0．
∴-7＜t＜-

1

2

．设2t

e

1+7

e

2=λ（

e

1+t

e

2）（λ＜0）?

2t=λ 7=tλ

?2t²=7?t=-

14

2

，
∴λ=-

14

．
∴当t=-

14

2

时，2t

e

1+7

e

2与

e

1+t

e

2的夹角为π．
∴t的取值范围是（-7，-

14

2

）∪（-

14

2

，-

1

2

）．

点评：本题考查平面向量积的运算，同时考查一元二次不等式的解法．