Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析：法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；
（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；
（3）必须说明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，然后求二面角C-PB-D的大小．
法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．
（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出

PA

=2

EG

，即可证明PA∥平面EDB；
（2）证明EF⊥PB，

PB

•

DE

=0，即可证明PB⊥平面EFD；
（3）求出

FE

•

FD

=

a2

9

-

a2

18

+

a2

9

=

a2

6

，利用cosEFD=

FE • FD

| FE || FD |

，求二面角C-PB-D的大小．

解答：解：方法一：
（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB

（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC．①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC．
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．
设正方形ABCD的边长为a，
则PD=DC=a，  BD=

2

aPB=

PD2+BD2

=

3

a，PC=

PD2+DC2

=

2

aDE=

1

2

PC=

2

2

a．
在Rt△PDB中，DF=

PD•BD

PB

=

a• 2 a

3 a

=

6

3

a．
在Rt△EFD中，sinEFD=

DE

DF

=

2 2 a

6 3 a

=

3

2

，∴∠EFD=

π

3

．
所以，二面角C-PB-D的大小为

π

3

．
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．
（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．
依题意得A(a，  0，  0)，  P(0，  0，  a)，  E(0，  

a

2

，  

a

2

)．
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(

a

2

，  

a

2

，  0)且

PA

=(a，  0，  -a)，  

EG

=(

a

2

，  0，  -

a

2

)．
∴

PA

=2

EG

，这表明PA∥EG．
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）证明；依题意得B（a，a，0），

PB

=(a，  a，  -a)．
又

DE

=(0，  

a

2

，  

a

2

)，故

PB

•

DE

=0+

a2

2

-

a2

2

=0．
∴PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：设点F的坐标为（x₀，y₀，z₀），

PF

=λ

PB

，则（x₀，y₀，z₀-a）=λ（a，a，-a）．
从而x₀=λa，y₀=λa，z₀=（1-λ）a．所以

FE

=(-x0，  

a

2

-y0，  

a

2

-z0)=(-λa，( 

1

2

-λ)a，  (λ-

1

2

)a)．
由条件EF⊥PB知，

FE

•

PB

=0，即-λa2+(

1

2

-λ)a2-(λ-

1

2

)a2=0，解得λ=

1

3

∴点F的坐标为(

a

3

，  

a

3

，  

2a

3

)，且

FE

=(-

a

3

，  

a

6

，  -

a

6

)，

FD

=(-

a

3

，  -

a

3

，  -

2a

3

)
∴

PB

•

FD

=-

a2

3

-

a2

3

+

2a2

3

=0
即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．
∵

FE

•

FD

=

a2

9

-

a2

18

+

a2

9

=

a2

6

，且|

FE

|=

a2 9 + a2 36 + a2 36

=

6

6

a，|

FD

|=

a2 9 + a2 9 + 4a2 9

=

6

3

a，
∴cosEFD=

FE • FD

| FE || FD |

=

a2 6

6 6 a• 6 3 a

=

1

2

．
∴∠EFD=

π

3

．
所以，二面角C-PB-D的大小为

π

3

．

点评：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．