Question

已知函数f(x)=4x3-3x2sinθ+

1

32

的极小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π]．
（I）求θ的取值范围；
（II）若在θ的取值范围内的任意θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围；
（III）设x0＞

sinθ

2

，f(x0)＞

sinθ

2

，若f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（I）对函数求导得，f′（x）=12x²-6xsinθ，令f′(x)=0可得x1=0，x2=

sinθ

2

，且由题意可知x₁≠x₂，依据题中的条件找出函数的极小值点为x2=

sinθ

2

，函数的极小值大于零?f(

sinθ

2

)＞0
（II）由（I）知，函数f（x）增区间（-∞，0）与(

sinθ

2

，+∞)，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数?区间
（2a-1，a）⊆（-∞，0）或（2a-1，a）⊆（

sinθ

2

，+∞），从而求a的取值范围
（III）假设f（x₀）≠x₀则f（x₀）＜x₀或f（x₀）＞x₀，结合（II）函数在(

sinθ

2

，+∞)的单调性进行推理，得出矛盾

解答：解：（I）f'（x）=12x²-6xsinθ令f'（x）=0得x1=0，x2=

sinθ

2

函数f（x）存在极值，sinθ≠0，（1分）
由θ∈[0，π]及（I），只需考虑sinθ＞0的情况．
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：
因此，函数f（x）在x=

sinθ

2

处取得极小值f(

sinθ

2

)，且f(

sinθ

2

)=-

1

4

sin3θ+

1

32

（3分）
要使f(

sinθ

2

)＞0，必有-

1

4

sin3θ+

1

32

＞0可得0＜sinθ＜

1

2

所以θ的取值范围是θ∈(0，

π

6

)∪(

5π

6

，π)（5分）
（II）由（I）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与(

sinθ

2

，+∞)内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，则a须满足不等式组

2a-1＜a a≤0

，或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 sinθ

，
∵0＜sinθ＜

1

2

∴要使不等式2a-1≥

1

2

sinθ关于参数θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

．
解得a≤0或

5

8

≤a＜1，所以a的取值范围是(-∞，0]∪[

5

8

，1]．（8分）
（III）用反证法证明：
假设f（x₀）≠x₀，则f（x₀）＜x₀，或f（x₀）＞x₀，
∵x0＞

sinθ

2

，f(x0)＞

sinθ

2

，
∴

sinθ

2

＜f(x0)＜x0，或f(x0)＞x0＞

sinθ

2

当

sinθ

2

＜f(x0)＜x0时，
∵函数f（x）在区间(

sinθ

2

，+∞)内是增函数，
∴f[f（x₀）]＜f（x₀），即x₀＜f（x₀）矛盾；
当f(x0)＞x0＞

sinθ

2

时，
∵函数f（x）在区间(

sinθ

2

，+∞)内是增函数，
∴f[f（x₀）]＞f（x₀），即x₀＞f（x₀）也矛盾；
故假设不成立，即f（x₀）=x₀成立．（12分）

点评：本题综合考查了利用导数的知识求解函数的极值，求函数的单调区间问题，以及结合单调性及反证法综合考查函数的综合知识．