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12.已知函数f(x)=x2ex,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:?x1,x2∈(-∞,0],f(x1)-f(x2)$≤\frac{4}{{e}^{2}}$;
(Ⅲ)当n≥2时,求证(n+1)•(en-1)<4(e-1)•n•en-1

分析 (Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)先求出函数f(x)在(-∞,0]上的单调区间,求出区间上的最大值和最小值,从而证明不等式成立;
(Ⅲ)由函数的单调性得到$\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}≤\frac{4}{{n}^{2}}<\frac{4}{(n-1)n}$,n=2,3,…,n+1,求和化简整理即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=x(x+2)ex
令f′(x)=x(x+2)ex=0,则x1=-2,x2=0,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-2,0),单调递增区间为(-∞,-2),(0,+∞);     
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),单调递减区间为(-2,0),

x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)极大极小
当x∈(-∞,0]时,f(x)最大值=f(-2)=$\frac{4}{{e}^{2}}$,
因为当x∈(-∞,-2]时,f(x)>0,f(0)=0,
所以当x∈(-∞,0]时,f(x)最小值=f(0)=0,
所以f(x)最大值-f(x)最小值=$\frac{4}{{e}^{2}}$,
所以对?x1,x2∈(-∞,0],都有f(x1)-f(x2)≤f(x)最大值-f(x)最小值=$\frac{4}{{e}^{2}}$;
(Ⅲ)当n≥2时,-n≤-2,由(Ⅱ)知:
f(-n)≤f(-2)即 $\frac{{n}^{2}}{{e}^{n}}≤\frac{4}{{a}^{2}}$,
∴$\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}≤\frac{4}{{n}^{2}}<\frac{4}{(n-1)n}$,从而$\frac{{a}^{2}}{{e}^{2}}<\frac{4}{1×2}$,
$\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}<\frac{4}{2×3}$,…,$\frac{{a}^{2}}{{e}^{n+1}}<\frac{4}{n(n+1)}$,
将以上各式相加,得:$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}}+\frac{{e}^{2}}{{e}^{3}}+L+\frac{{e}^{2}}{{e}^{n+1}}$<$\frac{4}{1×2}+\frac{4}{2×3}+L+\frac{4}{n(n+1)}$,
即:1+$\frac{1}{e}$+L+$\frac{1}{{e}^{n-1}}$<4[(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$)+L+($\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$)],
即:$\frac{1-(\frac{1}{e})^{n}}{1-\frac{1}{e}}<4(1-\frac{1}{n+1})$,化简得:$\frac{e}{e-1}(1-\frac{1}{{e}^{n}})<\frac{4n}{n+1}$,
即(n+1)•(en-1)<4(e-1)•n•en-1

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,不等式的证明问题,本题计算量大,有较大难度.

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60分以下61-70分71-80分81-90分91-100分
甲班(人数)361118
12乙班(人数)713101010
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.
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(Ⅱ)由以上统计数据填写下面2x2列联表,根据以上数据,能杏有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助?
优秀人数非优秀人数合计
甲班
乙班
合计
参考公式及数据:x2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(x2≥k00.500.400.250.150.100.050.0280.0100.0050.001
k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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