Question

已知，x∈R，函数f（x）=sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x．
（1）求函数f（x）的奇偶性；
（2）是否存在常数α，使得对任意实数x，恒成立；如果存在，求出所有这样的α；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解法一：（1）定义域是x∈R，
∵f（-x）=sin²（-x-α）+sin²（-x+α）-sin²（-x）=sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）∵，∴sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x=cos²（x-α）+cos²（x+α）-cos²x，
移项得：cos（2x-2α）+cos（2x+2α）-cos2x=0，
展开得：cos2x（2cos2α-1）=0，
对于任意实数x上式恒成立，只有．
∵0＜2α＜π，∴．
解法二：=．
（1）定义域是x∈R，
∵，
∴该函数在定义域内是偶函数．
（2）由恒成立，
∴，
∴，
化简可得：cos2x（2cos2α-1）=0对于任意实数x上式恒成立，
只有，
∵0＜2α＜π，∴．
分析：解法一：（1）利用奇偶性的定义即可判断出；
（2）对等式展开化简即可得出．
解法二：先利用倍角公式进行化简再利用上述解法一即可．
点评：熟练掌握三角函数的倍角公式、函数的奇偶性的判断方法事件他的关键．本题需要较强的计算能力．