Question

15．已知函数y=f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．
（1）若a＞0，当x∈[a，2a]时，求函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$的最小值；
（2）若f（x）≤$\frac{a}{x}$+1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数f（x）的最小值；
（2）问题转化为a＞$\frac{lnx}{x}$-x，求出函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
∴函数f（x）在（0，$\sqrt{e}$）递增，在（$\sqrt{e}$，+∞）递减，
①若2a≤$\sqrt{e}$，即0＜a≤$\frac{\sqrt{e}}{2}$时，
f（x）在[a，2a]单调递增，f（x）_min=f（a）=$\frac{lna}{{a}^{2}}$，
②a＜$\sqrt{e}$＜2a，即：$\frac{\sqrt{e}}{2}$＜a＜$\sqrt{e}$时，
f（x）在[a，$\sqrt{e}$）递增，在（$\sqrt{e}$，2a]递减，
∴f（x）_min=min[f（a），f（2a）]，
③a≥$\sqrt{e}$时，
f（x）在[a，2a]单调递减，
∴f（x）_min=f（2a）=$\frac{ln2a}{{4a}^{2}}$；
（2）若f（x）≤$\frac{a}{x}$+1，
则$\frac{lnx}{{x}^{2}}$＜$\frac{a}{x}$+1，则a＞$\frac{lnx}{x}$-x，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x，则g′（x）=$\frac{1-lnx{-x}^{2}}{{x}^{2}}$，
令h（x）=1-lnx-x²，则h′（x）=-$\frac{1}{x}$-2x＜0，
∴h（x）即g′（x）在（0，+∞）单调递减，
而g′（1）=0，
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（1）=-1，
∴a＞-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．