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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）．则m，n满足的关系式为
    m2+n2=3
    m2+n2=3
    ．
    分析：设点M（3，k），则由PF⊥OM可得
    n-0
    m-1
    •
    k-0
    3-0
    =-1，化简可得 nk=3-3m ①．再由题意可得△OPM为直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，化简可得 2m2+2n2-6m-2nk=0 ②．再把①代入②化简可得结果．
    解答：解：设点M（3，k），则由PF⊥OM可得
    n-0
    m-1
    •
    k-0
    3-0
    =-1，
    化简可得 nk=3-3m ①．
    再由直径对的圆周角为直角，可得OP⊥PM，△OPM为直角三角形，故由勾股定理可得
    OP2+PM2=OM2，即 m2+n2+（m-3）2+（n-k）2=32+k2．
    化简可得 2m2+2n2-6m-2nk=0 ②．
    再把①代入②化简可得 m2+n2=3，
    故答案为 m2+n2=3．
    点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，直线和圆相交的性质，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足
    OC
    =α
    OA
    +β
    OB
    ，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（　　）
    A、3x+2y-11=0
    B、（x-1）2+（y-2）2=5
    C、2x-y=0
    D、x+2y-5=0

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，O为原点，设椭圆的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），篮球与地面的接触点为H，则|OH|=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，O（0，0），P（6，8），将向量
    OP
    按逆时针旋转
    π
    4
    后，得向量
    OQ
    则点Q的坐标是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足   
    OC
    =α
    OA
    +β
    OB
    ，其中α    、β∈R，且α-2β=1
    （1）求点C的轨迹方程；
    （2）设点C的轨迹与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
    1
    a2
    +
    1
    b2
    为定值    ；
    （3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于
    		2
    2
    ，求椭圆长轴长的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•海淀区二模）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），动点P（x，y）满足：
    OP
    =m
    OA
    +(m-1)
    OB
    (m∈R)    ．
    （1）求点P的轨迹方程；
    （2）设点P的轨迹与双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率等于
    		3
    ，求双曲线C的方程．

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