Question

15．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，E、F分别是AB、BB₁的中点，则异面直线A₁E与C₁F所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 首先找到异面直线的夹角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相应的值．

解答 解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F是AB、BB₁的中点，设AB=4
取A₁B₁的中点H，HB₁的中点G，连结GF，GC₁，
GF、FC₁所成的角即为A₁E与C₁F所成的角．
利用勾股定理得：GF=$\sqrt{5}$，C₁F=2$\sqrt{5}$，GC₁=$\sqrt{17}$，
在△CFG中，利用余弦定理
cos∠GFC₁=$\frac{5+20-17}{2•\sqrt{5}•2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
故选：B

点评 本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．