Question

16．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，$A=\frac{π}{3}$．
（1）求BC的长．
（2）求cos（A-C）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理求得BC的值，
（2）由正弦定理可得即sinC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，再利用两角和的余弦公式即可求出．

解答 解：（1）△ABC中，AB=2，AC=3，A=$\frac{π}{3}$，则由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=7，
∴BC=$\sqrt{7}$，
（2）由正弦定理可得$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{BC}{sinA}$，即sinC=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
则cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
则cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$

点评 本题主要考查余弦定理和正弦定理，以及两角和的余弦公式，属于基础题