【题目】如图:在四棱锥中,平面.,,.点是与的交点,点在线段上且.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
(1)推导出,在正三角形中,,从而.
进而,由此能证明平面;
(2)分别以为轴,轴,轴建立如图的空间直角坐标系,求出与平面的法向量,进而利用向量的夹角公式可求出直线与平面所成角的正弦值;
(3)求出面与面的法向量,进而利用向量的夹角公式可求出二面角的平面角的余弦值,再转化为正切值即可.
证明:(1)∵在四棱锥中,平面.,
,.点是与的交点,
,
∴在正三角形中,,
在中,∵是中点,,
,又,
,
,
∵点在线段上且,
,
平面,平面,
∴平面.
(2),
分别以为轴,轴,轴建立如图的空间直角坐标系,
,
,
,
设平面的法向量,
则,取,得,
,
设直线与平面所成角为,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为;
(3)由(2)可知,为平面的法向量,
,
设平面的法向量为,
则,即,
令,解得,
设二面角的平面角为,则,
故二面角的正切值为.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,圆的圆心与椭圆C的上顶点重合,点P的纵坐标为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为2的直线l与椭圆C交于A,B两点,探究:在椭圆C上是否存在一点Q,使得,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.
(1)求PA的长;
(2)求二面角B﹣AF﹣D的正弦值.
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【题目】在的方格表中,每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一,若每个的子方格表包含每种颜色的格均为一,称此染法为“均衡”的.则所有不同的均衡的染法有__________种.
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【题目】函数在区间上的图像如图所示,将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度后,所得到的图像关于直线对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数,。
Ⅰ.求函数的最小正周期和单调递增区间;
Ⅱ.当时,方程恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
Ⅲ.将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象关于原点中心对称,求的最小值。
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【题目】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A. 56 B. 60 C. 120 D. 140
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