Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=

π

3

，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2时，求

AC

•

BC

的值；
（Ⅱ）若

AC

•

BC

=

1

6

（λ⁴+3）时，求边长c的最小值及判定此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简a+b=λc，然后把λ与sinC的值代入，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可得到一个角的正弦函数值，根据特殊角的三角函数值即可得到B的度数，进而得到此三角形为边长为2的等边三角形，然后由a=b=2，cosC=cos

π

3

，利用平面向量的数量积得运算法则，即可求出

AC

•

BC

的值；
（Ⅱ）由cosC的值，根据余弦定理即可得到c的平方与a+b和ab之间的关系式，根据平面向量的数量积的运算法则，由若

AC

•

BC

=

1

6

（λ⁴+3），即可表示出ab，又a+b=λc，代入得到的关系式中，利用基本不等式即可求出c的最小值，进而求出此时λ的值，得到a+b和ab的值，联立即可求出a与b的值，根据勾股定理的逆定理即可判断出△ABC为直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，
又∵λ=2，C=

π

3

?sinB+sin(

2π

3

-B)=

3

?sin(B+

π

6

)=1，
∴B=

π

3

，根据c=2，得到△ABC为边长为2的等边三角形，
∴

AC

•

BC

=abcosC=2；
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
由

AC

•

BC

=

1

6

(λ4+3)?ab=

1

3

(λ4+3)，又a+b=λc，
∴c2=λ2c2-(λ4+3)?c2=

λ4+3

λ2-1

=(λ2-1)+

4

λ2-1

+2≥6
∴cmin=

6

当且仅当λ=

3

时取等号．此时c=

6

，ab=4，a+b=3

2

，
∴

a= 2 b=2 2 c= 6

或

a=2 2 b= 2 c= 6

，
∴△ABC为直角三角形．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，会利用基本不等式求函数的最小值，灵活运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，是一道中档题．