Question

已知函数的图象，它与y轴的交点为（），它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间和对称中心．
（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

解：（1）由题意可得A=3，由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3）得，
∴T=4π从而
又图象与y轴交于点，
∴?
由于，
∴
函数的解析式为
（2）因为∈，k∈Z，所以x∈，
函数的单调递增区间：；
因为，解得x=，所以函数的对称中心：
（3）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，再将所得函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，最后将所得函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍得到函数的图象．
分析：（1）通过函数的最大值点求出A，最大值与最小值的横坐标求出函数的周期，然后求出ω，利用函数经过（），以及φ的范围，求出φ，然后得到函数y=f（x）的解析式；
（2）通过（1）的函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间好对称中心，直接求这个函数的单调递增区间和对称中心．
（3）通过左加右减的原则，可由y=sinx（x∈R）的图象经过向左平移和纵坐标伸长伸的变换得到函数的解析式．
点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，注意A，ω，φ的求法，函数的单调增区间的求法，考查计算能力，注意平移时x的系数，避免错误．