Question

如图1，椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的下顶点为C，A，B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动，满足

OA

⊥

OB

，其中O为坐标原点，现沿x轴将坐标平面折成直二面角．如图2所示，在空间中，解答下列问题：
（1）证明：OC⊥AB；
（2）设二面角O-BC-A的平面角为α，二面角O-AC-B的平面角为β，二面角O-AB-C的平面角为θ，求证：cos²α+cos²β+cos²θ=1；
（3）求三棱锥O-ABC的体积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设知，沿x轴将坐标平面折成直二面角后，OC⊥x轴，且OC⊥y轴，所以OC⊥面AOB，由此能够证明OC⊥AB．
（2）由

OA

⊥

OB

，OA⊥OB，设直线OA方程为y=kx，OB的方程为y=-

x

k

，解方程组

x2 9 + y2 4 =1 y=kx

，得A（

6

4+9k2

，

6k

4+9k2

），解方程组

x2 9 + x2 4 =1 y=- x k

，得B（-

6k

9+4k2

，

6

9+4k2

），OA=

6 1+k 2

4+9k2

，OB=

6 1+k2

9+4k2

，OC=2，以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法能够证明cos²α+cos²β+cos²θ=1．
（3）由OC⊥面OAB，知三棱锥O-ABC的高OC=2，底面积S=S_△0AB=

1

2

×

6 1+k2

4+9k2

× 

6 1+k2

9+4k2

=

18(1+k2)

(4+9k2)(9+4k2)

≥3，由此能求出三棱锥O-ABC的体积的最小值．

解答：（1）证明：由题设知，沿x轴将坐标平面折成直二面角后，
∵OC⊥x轴，且OC⊥y轴，
∴OC⊥面AOB，
∵AB?面AOB，
∴OC⊥AB．
（2）证明：∵

OA

⊥

OB

，∴OA⊥OB，
∴设直线OA方程为y=kx，OB的方程为y=-

x

k

，
解方程组

x2 9 + y2 4 =1 y=kx

，得A（

6

4+9k2

，

6k

4+9k2

），（舍去x＜0的解）
解方程组

x2 9 + x2 4 =1 y=- x k

，得B（-

6k

9+4k2

，

6

9+4k2

），（舍去x＞0的解）
∵O（0，0），
∴OA=

6 1+k 2

4+9k2

，OB=

6 1+k2

9+4k2

，OC=2，
∵OC⊥面AOB，OA⊥OB，
∴以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（

6 1+k2

4+9k2

，0，0），B（0，

6 1+k2

4+9k2

，0），C（0，0，2），
∴

CA

=(

6 1+k2

4+9k2

，0，-2)，

CB

=(0，

6 1+k2

9+4k2

，0)，
设平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，则有

6 1+k2 4+9k2 x-2z=0 6 1+k2 4+9k2 y-2z=0

，
∴

n

=(1，

9+4k2

4+9k2

，0)，
∵平面OBC的法向量

n1

=(1，0，0)，
∴cosα=cos＜

n

，

n1

＞=

1

1+ 9+4k2 4+9k2

，
∵平面OAC的法向量

n2

=(0，1，0)，
∴cosβ=

9+4k2 4+9k2

1+ 9+4k2 4+9k2

，
∵平面OAB的法向量

n3

=(0，0，1)，
∴cosθ=

0

1+ 9+4k2 4+9k2

，
∴cos²α+cos²β+cos²θ=

1

1+ 9+4k2 4+9k2

+

9+4k2 4+9k2

1+ 9+4k2 4+9k2

=1．
（3）解：∵OC⊥面OAB，
∴三棱锥O-ABC的高OC=2，
底面积S=S_△0AB=

1

2

×

6 1+k2

4+9k2

× 

6 1+k2

9+4k2

=

18(1+k2)

(4+9k2)(9+4k2)

≥3，
当且仅当k=0时，取最小值．
∴三棱锥O-ABC的体积的最小值Vmin=

1

3

×3×2=2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，难度大，综合性强，易出错．解题时巧妙地引空间直角坐标系，恰当地利用空间向量进行求解，能够简化运算．