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7.设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=0恒成立,如果?m,n∈R,f(m2-6m+23)+f(n2-8n)<0成立,那么点P(m,n)与圆A:(x-3)2+(y-4)2=4的位置关系是(  )
A.P在圆内B.P在圆上C.P在圆外D.无法判断

分析 由f(1-x)+f(1+x)=0得出f(1-x)=-f(1+x),化简f(m2-6m+23)+f(n2-8n)<0,再由f(x)是R上的增函数,得出m、n的关系式,从而判断点P在圆内.

解答 解:∵对于任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=0恒成立,
∴f(1-x)=-f(1+x),
又∵f(m2-6m+23)+f(n2-8n)<0,
∴f(m2-6m+23)<-f[(1+(n2-8n-1)],
∴f(m2-6m+23)<f[(1-(n2-8n-1)]=f(2-n2+8n);
又∵f(x)是R上的增函数,
∴m2-6m+23<2-n2+8n,
∴(m-3)2+(n-4)2<4;
又∵(x-3)2+(y-4)2=4的圆心为(3,4),半径为2,
∴(m-3)2+(n-4)2<4表示圆内的点.
故选:A.

点评 本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了点与圆的位置关系的应用问题,是基础题目.

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