Question

7．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果?m，n∈R，f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0成立，那么点P（m，n）与圆A：（x-3）²+（y-4）²=4的位置关系是（　　）

• A． P在圆内
• B． P在圆上
• C． P在圆外
• D． 无法判断

Answer 1

分析 由f（1-x）+f（1+x）=0得出f（1-x）=-f（1+x），化简f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，再由f（x）是R上的增函数，得出m、n的关系式，从而判断点P在圆内．

解答 解：∵对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，
∴f（1-x）=-f（1+x），
又∵f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+23）＜-f[（1+（n²-8n-1）]，
∴f（m²-6m+23）＜f[（1-（n²-8n-1）]=f（2-n²+8n）；
又∵f（x）是R上的增函数，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4；
又∵（x-3）²+（y-4）²=4的圆心为（3，4），半径为2，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4表示圆内的点．
故选：A．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了点与圆的位置关系的应用问题，是基础题目．