Question

设函数f(x)=

a

? 

b

，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点(

π

4

，2)．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过函数的图象经过点(

π

4

，2)，求实数m的值；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小值及此时x值的集合．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

?

b

=m（1+sin2x）+cos2x，…（3分）
由已知f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，得m=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)，…（9分）∴当sin(2x+

π

4

)=-1时，f（x）的最小值为1-

2

，…（11分）
由sin(2x+

π

4

)=-1，得x值的集合为{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．…（14分）

点评：本题是中档题，考查向量的数量积与三角函数的化简求值，考查计算能力．常考题型．