Question

如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为8的正三角形，SA=SC=2

7

，二面角S-AC-B的大小为60^°
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）取AC的中点D，连接SD，BD，证明SD⊥AC，BD⊥AC，说明AC⊥面SBD，即可证明AC⊥SB．
（2）过S作SO⊥BD于O，说明∠SDB为二面角S-AC-B平面角，求出SO，然后求出几何体的体积．

解答：解（1）取AC的中点D，连接SD，BD，
∵SA=SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又SD∩BD=D∴AC⊥面SBD，
又SB?面SBD，∴AC⊥SB…（6分）
（2）过S作SO⊥BD于O，∵AC⊥面SBD，又AC?平面ABC∴平面SBD⊥平面ABC，又SO⊥BD∴SO⊥平面ABC
在Rt△SAD中，SA=2

7

，AD=

1

2

AC=4，∴SD=

28-16

=2

3

∵SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为二面角S-AC-B平面角，∴∠SDB=60°，
在Rt△SDO中，SO=SD•sin∠SDO=2

3

×

3

2

=3
∴VS-ABC=

1

3

S△ABC•SO=

1

3

×

3

4

×64×3=16

3

…（12分）

点评：本题是中档题，考查空间几何体的直线与直线的位置关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．