已知函数
(1)求反函数f-1(x);
(2)若数列{an}(an>0)的前n项和Sn满足:a1=2,Sn=f-1(Sn-1)(n≥2)
①求数列{an}的通项公式.
②令,求数列{bn}前n项和Tn.
解:(1)∵函数
∴
,
两边平方,得8x=x
2+y
2+4-2xy-4y+4x,
整理,得x
2-(2y+4)x+y
2-4y+4=0,x≥2.
∴
=y+2+2
=
,
x,y互换,得
.
(2)①∵a
1=2,S
n=f
-1(S
n-1)(n≥2)
.
∴
∴
,
∵
,
∴
,
∴S
n=2n
2,
∵a
1=S
1=2,
a
n=S
n-S
n-1=2n
2-2(n-1)
2=4n-2,
当n=1时,4n-2=2=a
1,
∴a
n=4n-2.
②∵
,
且a
n=4n-2.
∴b
n=4(2
n+n)-2,
∴T
n=4(1+2+3+…+n)+4(2+2
2+2
3+…+2
n)-2n
∴
.
分析:(1)函数
,得
,两边平方,并整理,得x
2-(2y+4)x+y
2-4y+4=0,x≥2.所以x=y+2+2
=
,x,y互换,得反函数f
-1(x).
(2)①由
,知S
n=2n
2,由此能求出数列{a
n}的通项公式.
②由b
n=4(2
n+n)-2,由求出数列{b
n}前n项和T
n.
点评:本题考查反函数的求法、数列通项公式的求法和数列的前n项和的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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由函数y=f(x)确定数列{a
n},a
n=f(n),函数y=f(x)的反函数y=f
-1(x)能确定数列b
n,b
n=f
-1(n)若对于任意n∈N
*都有b
n=a
n,则称数列{b
n}是数列{a
n}的“自反函数列”
(1)设函数f(x)=
,若由函数f(x)确定的数列{a
n}的自反数列为{b
n},求a
n;
(2)已知正整数列{c
n}的前项和s
n=
(c
n+
).写出S
n表达式,并证明你的结论;
(3)在(1)和(2)的条件下,d
1=2,当n≥2时,设d
n=
,D
n是数列{d
n}的前n项和,且D
n>log
a(1-2a)恒成立,求a的取值范围.
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n,则称数列{b
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,若由函数f(x)确定的数列{a
n}的自反数列为{b
n},求a
n;
(2)已知正整数列{c
n}的前项和s
n=
(c
n+
).写出S
n表达式,并证明你的结论;
(3)在(1)和(2)的条件下,d
1=2,当n≥2时,设d
n=
,D
n是数列{d
n}的前n项和,且D
n>log
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