Question

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则

PE

•

PF

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由两圆的圆心距|CM|=5大于两圆的半径之和可得两圆相离，如图所示，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，利用两个向量的数量积的定义求出

HE

•

HF

的值，即为所求．

解答：解：（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．
∵|CM|=

(5sinθ)2+(5cosθ)2

=5＞2+1，故两圆相离．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

最小，需 |

PE

| 和

|PF|

最小，且cos∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆M 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|=

|HC|2-|CE|2

=

16-4

=2

3

，sin∠CHE=

|CE|

|CH|

=

1

2

，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=

1

2

，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2

3

×2

3

×

1

2

=6，
故答案为：6．

点评：本题考查两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量的数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现了数形结合的数学思想，判断

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，是解题的关键．考查分析解决问题的能力和运算能力，属难题．