Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求证：OE∥平面ACD
（Ⅱ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接OE，利用线面平行的判定定理即可证出OE∥平面ACD；
（Ⅱ）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知AO=1，CO=

3

，AC=2，故AO²+CO²=AC²，由此能够证明AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．

解答：解：（I）证明：连结OE，∵O、E分别是BD、BC的中点，
∴OE∥CD，又OE?平面ACD，CD?平面ACD，
∴OE∥平面ACD；
（II）证明：连结OC∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴AO⊥OC．
又∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD；
（III）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，
由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴OM=

1

2

AC=1，
∴OM=OE取EM的中点N，则ON⊥EM，
∴cos∠OEM=

EN

OE

=

2

4

，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为

2

4

．

点评：本题考查点、线、面间的位置关系及空间角的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．