Question

5．已知P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$上的动点，点M是圆（x+5）²+y²=4上的动点，点N是圆（x-5）²+y²=1上的动点，则|PM|-|PN|的最大值是9．

Answer 1

分析 由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最最大值．

解答 9解：双曲线双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$上的两个焦点分别是F₁（-5，0）与F₂（5，0），
则这两点正好是两圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的圆心，半径分别是r₁=2，r₂=1，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|PM|_max=|PF₁|+2，|PN|_min=|PF₂|-1，
∴|PM|-|PN|的最大值=（|PF₁|+2）-（|PF₂|-1）=6+3=9，
|PM|-|PN|的最大值为9，
故答案为：9

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系，着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用，以及对几何图形的认识能力，属于中档题．