Question

直线AB过抛物线x²=2py（p>0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.

   （Ⅰ）求的取值范围；

   （Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点.

        求证：；

   （Ⅲ）若p是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为［5，20］时，求该抛物线的方程.

Answer 1

（Ⅰ）·的取值范围是.   

   （Ⅱ）证明见解析

   （Ⅲ）抛物线的方程：x²=4y.    

解析:

（Ⅰ）由条件得M(0，－)，F(0，).设直线AB的方程为

         y=kx+，A(，)，B(，)

         则，，Q().   …………………………2分

         由得.

         ∴由韦达定理得+=2pk，·=－    …………………………3分

         从而有= +=k(+)+p=2pk÷p.

         ∴·的取值范围是.      …………………………4分

   （Ⅱ）抛物线方程可化为，求导得.

         ∴       =y     .

         ∴切线NA的方程为：y－即.

         切线NB的方程为：  …………………………6分

         由解得∴N()

         从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同.

         ∴NQ∥OF.即    …………………………7分

         又由（Ⅰ）知+=2pk，·=－p

         ∴N(pk，－).      …………………………8分

         而M(0，－)  ∴

         又. ∴.       …………………………9分

   （Ⅲ）由.又根据(Ⅰ)知

         ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分

         由于=(－pk，p)，  

         ∴

         从而.         …………………………11分

         又||=，||=

         ∴.

         而的取值范围是［5，20］.

         ∴5≤5p²≤20，1≤p²≤4.   …………………………13分

         而p>0，∴1≤p≤2.

         又p是不为1的正整数.

         ∴p=2.

         故抛物线的方程：x²=4y.      …………………………14分