Question

某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用是元;③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙的费用为元.经讨论有两种方案：（1）利用旧墙的一段x米（x＜14)为矩形厂房一面的边长；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.

问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）（2）两种方案哪个更好？

Answer 1

分析：以建墙费用为目标函数，通过讨论函数的最小值来解决本题.

解：设利用旧墙的一面矩形的边长为x，则矩形的另一面边长为米.

（1）利用旧墙的一段x米（x＜14为矩形一面边长，则修旧墙费用为x·元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为（14-x）·元，其余建新墙的费用为（2x+-14）·a元.故总费用为y=·a+·a+(2x+-14)·a=a(+-7)=7a(+-1)(0＜x＜14),

∴y≥7a［2-1］=35a,当且仅当=即x=12米时，y_min=35a.

（2）若利用旧墙的一面矩形边长为x米（x≥14）,则修旧墙的费用为·14=a元，建新墙的费用为（2x+-14）a元，故总费用为y=a+(2x+-14)a=a+2a(x+-7)(x≥14).

∴y′=2a(1-)=,当x≥14时y′＞0.

∴函数y=a+2a(x+-7)在［14，+∞］上为增函数.故当x=14时，

y_min=a+2a(14+-7)=35.5a.

综上讨论知：采用第（1）方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元.