Question

（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|

1-ab

a-b

|＞1；
（2）求实数λ的取值范围，使不等式|

1-abλ

aλ-b

|＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b恒成立；
（3）已知|a|＜1，若|

a+b

1+ab

|＜1，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用综合法，首先化简|1-ab|²-|a-b|²可得，|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）；结合题意中|a|＜1，|b|＜1，可得a、b的范围，进而可得|1-ab|²-|a-b|²＞0，由不等式的性质，可得答案；
（2）根据题意，将|

1-abλ

aλ-b

|＞1转化为分式，可得

1-abλ

aλ-b

|＞1?（a²λ²-1）（b²-1）＞0，由于|b|＜1，则b²-1＞0，即只需a²λ²-1＞0即可，分a=0与a≠0两种情况讨论，可得答案；
（3）根据题意，可得|

a+b

1+ab

|＜1?（a²-1）（b²-1）＜0，结合题意|a|＜1，可得a²＜1，即只需1-b²＞0，解可得答案．

解答：解：（1）证明：|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a²-1＜0，b²-1＜0．
∴|1-ab|²-|a-b|²＞0．
∴|1-ab|＞|a-b|，

|1-ab|

|a-b|

=

|1-a•b|

|a-b|

＞1．

（2）解：∵|

1-abλ

aλ-b

|＞1?|1-abλ|²-|aλ-b|²=（a²λ²-1）（b²-1）＞0．
∵b²＜1，
∴a²λ²-1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立．
当a=0时，a²λ²-1＜0成立；
当a≠0时，要使λ²＜

1

a2

对于任意满足|a|＜1的a恒成立，而

1

a2

＞1，
∴|λ|≤1．故-1≤λ≤1．
（3）|

a+b

1+ab

|＜1?（

a+b

1+ab

）²＜1?（a+b）²＜（1+ab）²?a²+b²-1-a²b²＜0?（a²-1）（b²-1）＜0．
∵|a|＜1，
∴a²＜1．
∴1-b²＞0，
即-1＜b＜1．

点评：本题考查不等式性质的基本运用，注意结合题意，进行分式、整式的转化，一般利要积的符号法则进行分析．