Question

（2012•成都一模）设函数f（x）=ax³+bx²+cx，记f（x）的导函数是f^′（x）．
（I）当a=-1，b=c=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）当c=-a²（a＞0）时，若函数f（x）的两个极值点x₁、x₂满足|x₁-x₂|=2，求b的取值范围；
（III）若a=-

1

3

令h（x）=|f^′（x）|，记h（x）在[-1，1]上的最大值为H，当b≥0，c∈R时，证明：H≥

1

2

．

Answer 1

分析：（I）把a=-1，b=c=-1代入函数f（x）=ax³+bx²+cx，对其进行求导，利用导数求函数f（x）的单调区间；
（II）把c=-a²（a＞0）时，代入函数f（x）=ax³+bx²+cx，可知x₁，x₂，是方程3ax²+2bx-a²=0，的两个不等实数，根据根与系数的关系进行求解；
（III）把a=-

1

3

代入f（x），令h（x）=|f^′（x）|，对b进行分类讨论：b＞1或0≤b≤1，利用绝对值的性质，求出H的范围；

解答：解：（I）当a=1，b=c=-1时，f（x）=x³-x²-x，
∴f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
∴函数f（x）的单调区间为（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）
单调减区间为（-

1

3

，1）；
（II）当c=-a²时，函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
异知x₁，x₂，是方程3ax²+2bx-a²=0，的两个不等实数，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=-

a2

3a

=-

a

3

，
∴|x₁-x₂|=

4b2 9a2 + 4a 3

=2，
∴即b²=-3a³+9a²，
∵b²=-3a³+9a²=-3a²（a-3）≥0，易知0＜a≤3；
设g（a）=-3a²（a-3），∴g′（a）=-9a²+18a=-9a（a-2），
∵g（a）在（2，3）上单调递减，在（0，2）上单调递减，
∴当0＜a≤3时，g（a）_max=g（2）=12；g（a）_min=g（3）=0，
∴b²≤12⇒b∈[-2

3

，2

3

]；
（III）∵a=-

1

3

，易知f′（x）=-x²+2bx+c，
∴h（x）=|f′（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
①若b＞1，则f′（-1）≤f′（x）≤f′（1），
即f′（x）的最值在区间[-1，1]两个端点处取得，
∴H≥h（1）且H≥h（-1），
∴2H≥h（1）+h（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥4b＞4，
∴当b＞1时，H＞2，
②若0≤b≤1，则f′（x）_max=f′（b），f′（x）_max=f′（-1），
∴H为h（-1）、h（b）中的最大值，
∴2H≥h（-1）+h（b）=|-1-2b+c|+|b²+c|≥（b+1）²，
又∵0≤b≤1，∴（b+1）²≥1，
∴H≥

1

2

，
综上：对于任意的b≥0，c∈R，都有H≥

1

2

；

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，一般求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，此题还考查了分类讨论的思想，是一道中档题；