Question

f（x）为偶函数且定义域为[-1，1]，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-3（x-2）²，a为实数且；
（1）求f（x）解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）的最大值为12，求a．

Answer 1

【答案】分析：（1）依据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，求出f（x）的解析式．
（2）先判断f（x）在[0，1]的单调性，根据其是偶函数，分析出f（x）在[-1，0]的单调性．
（3）依据（2）中的结论，求出函数取最大值时x的值，代入求出a的值．
解答：解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=g（2-x）．当x∈[-1，0]时，则2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=2a（2-x-2）-3（2-x-2）²=-2ax+3x²，
即f（x）=-2ax+3x²
当x∈[0，1]时，根据偶函数关于y轴对称可得 f（x）=f（-x）=2ax+3x²
综上所述，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+3x²； 当x∈[0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax+3x²．
（2）在[0，1]上任取x₁，x₂满足0≤x₁＜x₂≤1
则f（x₁）-f（x₂）=2ax₁+3x₁²-2ax₂-3x₂²
=2a（x_1^-x_2^）+3（x₁²-x₂²）
=[2a+3（x_1⁺x₂）]（x_1^-x₂） 
∵0≤x₁＜x₂≤1∴x_1^-x₂＜0，2a+3（x_1⁺x₂）＞0
即[2a+3（x_1⁺x₂）]（x_1^-x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在区间[0，1]上单调递增．
∵f（x）为偶函数，根据偶函数关于y轴对称的性质可得f（x）在区间[0，1]单调递减
（3）由（2）可知函数最大值是f（1）或f（-1），
∴f（1）=2a-3=12，
解得a=
点评：本题主要考查函数的奇偶性的运用．此类题可能会与函数的单调性、对称性、周期性等内容一块考查．