Question

设三次函数h（x）=px³+qx²+rx+s满足下列条件：h（1）=1，h（-1）=-1，在区间（-1，1）上分别取得极大值1和极小值-1，对应的极点分别为a，b
（1）证明：a+b=0；
（2）求h（x）的表达式；
（3）已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在（-1，1）上满足-1＜f（x）＜1．证明当|x|＞1时，有|f（x）|＜|h（x）|

Answer 1

分析：（1）由h（1）=1，h（-1）=-1可得q+s=0，r+p=1，代入整理可得h（x）=px³-sx²+（1-p）x+s，对函数求导，结合方程的根与系数的关系整理；
（2）由（1）的结论可求s=q=0，根据h（a）=1，h′（a）=0可求得答案；
（3）|f（x）|＜|h（x）|?f²（x）＜g²（x）?[f（x）+g（x）]•{f（x）-g（x）]＜0，由题意有|f（1）|＜1，|f（-1）|＜1，构造函数F（x）=h（x）+f（x），G（x）=h（x）-f（x），结合已知研究函数F（x）、G（x）在（-1，1）上的极值，从而可得F（x）•G（x）＜0，可证结论．

解答：解：（1）由h（1）=1，h（-1）=-1得q+s=0，r+p=1
h（x）=px³-sx²+（1-p）x+s
h’（x）=3px²-2sx+1-p
因为（-1，1）内有两极值且h（1）=1，所以有p＞0，h（α）+h（β）=p（α³+β³）-s（α²+β²）+（1-p）（α+β）+s=0（*）
又由韦达定理得α+β=

2s

3p

，
即s=

3

2

p(α+β)代入（*）中得(α+β)[-

1

2

p(α+β)2+1+2p]=0
因为p＞0，a+b?（-2，2），所以-

1

2

p(α+β)2+1+2p＞1
所以有α+β=0
（2）由α+β=0得s=0，q=0
所以h（x）=px³+（1-p）x，又h（α）=1，h'（α）=0
消去p得（2α+1）（α-1）²=0所以有α=-

1

2

，p=4
所以有h（x）=4x³-3x
（3）因为|x|＜1时|f（x）|＜1，所以有|f（1）|＜1，|f（-1）|＜1
令F（x）=h（x）+f（x），G（x）=h（x）-f（x）
则有F（1）=1+f（1）＞0，F（

1

2

）=-1+f（

1

2

）＜0，
F（-

1

2

）=1+f（-

1

2

）＞0，F（-1）=-1+f（-1）＜0
所以有F（x）在（-1，1）内有极大值和极小值，
当x＞1时，F（x）＞0，当x＜-1时，F（x）＜0
同理有：G（1）=1-f（1）³0，G（

1

2

）=-1-f（

1

2

）＜0，G（-

1

2

）=1-f（-

1

2

）＞0，
G（-1）=-1-f（-1）£0
所以有G（x）在（-1，1）内有极大值和极小值，
当x＞1时，G（x）＞0，当x＜-1时，G（x）＜0
所以当|x|＞1时，有F（x）•G（x）＞0即h²（x）＞f²（x）即|h（x）|＞|f（x）|

点评：本题是函数的导数及函数的性质的综合运用，主要考查了考试的运用知识的能力及分析问题、解决问题的能力，还要求考试具备一定的逻辑推理能力，试题的难度较大．