Question

已知实数a,b满足:关于x的不等式|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|对一切x∈R均成立.
(1)请验证a=-2,b=-8满足题意.
(2)求出所有满足题意的实数a,b,并说明理由.
(3)若对一切x>2,均有不等式x²+ax+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

(1)见解析   (2)a=-2,b=-8，理由见解析   (3) (-∞,2]

(1)当a=-2,b=-8时,有
|x²+ax+b|=|x²-2x-8|≤2|x²-2x-8|
=|2x²-4x-16|.
(2)在|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|中,
分别取x=4,x=-2,
得,所以,
所以a=-2,b=-8,
因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.
(3)由x²+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),
所以x²-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x²-4x+7≥m(x-1),
所以对一切x>2,均有不等式≥m成立,
而=(x-1)+-2
≥2-2=2(当且仅当x=3时等号成立),
所以实数m的取值范围是(-∞,2].