【题目】如图,已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 焦距为2,过点F2作直线l交椭圆于M、N两点,△F1MN的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l分别交直线y= x,y=﹣ x于P,Q两点,求 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2,
过点F2作直线l交椭圆于M、N两点,△F1MN的周长为8.
∴ ,解得a=2,b= ,c=1,
∴椭圆方程为 .
(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+1,
联立 ,消去x,整理,得:(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则 , ,
设P(x3,y3),N(x4,y4),
联立 ,得 ,同理 ,
|PQ|= = ,
∴ = = ,
当0≤m2≤4时, = ∈[0, ],
当m2>4时, = ∈(0, ),
∴ 的取值范围是[0, ].
【解析】(Ⅰ)由椭圆的焦距为2,过点F2作直线l交椭圆于M、N两点,△F1MN的周长为8,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆方程.(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+1,联立 ,得:(3m2+4)y2+6my﹣9=0,由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式,结合已知条件能求出 的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.
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【题目】已知f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4,2),
(1)求a的值.
(2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x),求g(x)的解析式及定义域.
(3)在(2)的条件下,求g(x)的单调减区间.
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(﹣1,3),且关于直线x=1对称
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若m<3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值域.
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【题目】解答题
(Ⅰ)已知 ,其中ai∈R,i=1,2,…10.
(i)求a0+a1+a2+…+a10;
(ii)求a7 .
(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位,每个岗位至少有一人参加,且五人均能胜任这四个岗位.
(i)若每人不准兼职,则不同的分配方案有几种?
(ii)若甲乙被抽调去别的地方,剩下三人要求每人必兼两职,则不同的分配方案有几种?
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【题目】已知圆M:(x﹣1)2+y2= ,椭圆C: +y2=1,若直线l与椭圆交于A,B两点,与圆M相切于点P,且P为AB的中点,则这样的直线l有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.6条
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【题目】下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0 B.1
C.2 D.3
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【题目】如图,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Γ经定点B(1,0),直线l是圆Γ在点B处的切线,过A(﹣1,0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E,F两点.
(1)求证:|EA|+|EB|为定值;
(2)证明:设直线l交直线x=4于点Q,证明:|EB||FQ|=|BF|EQ|.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S= (b2+c2﹣a2),则∠B=( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
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