Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点
（1）求证：AB⊥面BEF；
（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，

以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），

E（1，1， ），F（1，2，0），

=（0，1， ）， =（0，2，0）， =（﹣2，0，0），

∴ =0， =0，

∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF．

∵AB平行于CD，∴AB⊥面BEF

（2）解：设面BCD的法向量为 ，则 （0，0，1），

设面BDE的法向量为 （x，y，z），

∵ =（﹣1，2，0）， =（0，1， ），

∴ ，取x=2，得 =（2，1，﹣ ），

∵二面角E﹣BD﹣C大于45°，

∴cos＜ ＞= ＜cos45°= ，

由h＞0，解得h＞ ，

∴h的取值范围是（ ，+∞）．

【解析】（1）以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB⊥面BEF．（2）求出面BCD的法向量和面DE的法向量，利用向量法能求出h的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．