Question

1．已知函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，若m，n∈[0，1]，则f'（n）+f（m）的最大值是（　　）

• A． -9
• B． -1
• C． 1
• D． -4

Answer 1

分析 令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最大值，利用导数求出f（m）的最大值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最大值．

解答 解：求导数可得f′（x）=-3x²+2ax
∵函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，
∴-12+4a=0，解得a=3
∴f′（x）=-3x²+6x
∴n∈[0，1]时，f′（n）=-3n²+6n，当n=1时，f′（n）最大，最大为3；
当m∈[0，1]时，f（m）=-m³+3m²-4
f′（m）=-3m²+6m
令f′（m）=0得m=0，m=2
所以m=1时，f（m）最大为-2
故f（m）+f′（n）的最大值为3-2=1．
故选：C．

点评 本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．