Question

【题目】在直角坐标系xOy中，已知曲线 （α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，曲线C3：ρ=2sinθ．
（1）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；
（2）设点A，B分别为曲线C2 ， C3上的动点，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线 ，消去参数α，

得：y+x2=1，x∈[﹣1，1]，①

∵曲线 ，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，

∴曲线C2：x+y+1=0，②，

联立①②，消去y可得：x2﹣x﹣2=0，解得x=﹣1或x=2（舍去），

∴M（﹣1，0）．…

（2）曲线C3：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，

∴曲线C3：x2+（y﹣1）2=1，是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆

设圆心C，点B到直线x+y+1=0的距离分别为d，d'，

则： ，

，

∴|AB|的最小值为 ．…

【解析】（1）将曲线C1消参，得到平面直角坐标方程，将C2的极坐标方程转化为平面直角坐标方程，联立求得交点的坐标，（2）将曲线C3化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离减去半径可得到|AB|的最小值.