Question

（本小题满分12分）
医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀，某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力参数K的频率颁布直方图：

（1）求这个样本的合格率、优秀率，并估计能力参数K的平均值；
（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名。
①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；
②设这2名医生中能力参数K为优秀的的人数为X，求随机变量X的分布列和期望。

Answer 1

（1）各组的频率依次为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
这个样本的合格率为1－0.2=0.8，优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3。
能力参数K的平均值为25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.05="43."
（2）分布列为

X	0	1	2
P

的期望值.

本试题主要是考查了频率分布直方图的运用，以及组合数的运用，和古典概型概率的计算，以及分布列的求解和运用。
（1）根据图可知各组的频率依次为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
这个样本的合格率为1－0.2=0.8，优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3。
能力参数K的平均值为25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.05="43"
（2）用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中，各组人数依次为4,6,4,3,2,1.
从20名医生中随机选出2名的方法数为
选出的2名医生的能力参数K为同一组的方法数为
故这2名医生的能力参数K为同一组的概率 
②20名医生中能力参数K为优秀的有6人，不是优秀的有14人。
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，，以及各个取值的概率值，得到分布列和期望值的求解。
解：（1）各组的频率依次为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
这个样本的合格率为1－0.2=0.8，优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3。
能力参数K的平均值为25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.05=43.………3分
（2）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中，各组人数依次为4,6,4,3,2,1.
从20名医生中随机选出2名的方法数为
选出的2名医生的能力参数K为同一组的方法数为
故这2名医生的能力参数K为同一组的概率…………………………6分
②20名医生中能力参数K为优秀的有6人，不是优秀的有14人。
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，则
……………10分
的分布列为

X	0	1	2
P

的期望值.……………………………………12分