Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E为边DC的中点，如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2.

(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；
(2)若平面AEP⊥平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥A­MQB的体积．

Answer 1

（1）1∶2（2）

(1)连AC、BQ，设AC∩BQ＝F，连MF.
则平面PAC∩平面MQB＝MF，因为PA∥平面MQB，PA?平面PAC，所以PA∥MF.(2分)
在等腰梯形ABCD中，E为边DC的中点，所以由题设，AB＝EC＝2.
所以四边形ABCE为平行四边形，则AE∥BC.(4分)
从而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.
又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)
(2)由(1)知，△AED是边长为2的正三角形，从而PQ⊥AE.
因为平面AEP⊥平面ABCE，交线为AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.
因为PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交线为QC.(9分)
过点M作MN⊥QC于N，则MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱锥M­ABQ的高．
因为PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN.
因为点M是PC的中点，所以MN＝PQ＝.(11分)
由(1)知，△ABE为正三角形，且边长为2.所以，S_△ABQ＝.
三棱锥A­MQB的体积V_A­MQB＝V_M­ABQ＝××＝.(14分)