Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosC，sin$\frac{C}{2}$），向量$\overrightarrow{n}$=（sin$\frac{C}{2}$，cosC），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$．
（1）求角C的大小；
（2）若a²=2b²+c²，求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）先利用向量平行的充要条件，得三角等式，即可求得角C；
（2）先利用余弦定理化简已知等式，再利用正弦定理将等式中的边化为角，并利用（1）和三角变换公式化简，最后利用同角三角函数基本关系式即可得所求

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosC，sin$\frac{C}{2}$），向量$\overrightarrow{n}$=（sin$\frac{C}{2}$，cosC），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，
∴cos²C-sin²$\frac{C}{2}$=0
∵C∈（0，π）
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理，a²=2b²+c²=b²+c²-2bccosA，
∴b=-2ccosA，
正弦定理得sinB=-2sinCcosA，C=$\frac{π}{3}$
∴sin（$\frac{2π}{3}$-A）=-$\sqrt{3}$cosA，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA+$\sqrt{3}$cosA=0，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosA=-$\frac{1}{2}$sinA
∴tanA=-3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，向量平行的充要条件，正弦定理和余弦定理的综合应用，属中档题．