Question

8．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠AOI=60°，P为各菱形边上的动点，设$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OH}$，则x+y的最大值为4．

Answer 1

分析 由条件可以看出G，O，C三点共线，并且OE的连线垂直于GC，从而可以分别以OC，OE两直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，可以确定D，H的坐标：D（$1，\sqrt{3}$），H（$-3，-\sqrt{3}$），可设P（X，Y）．从而可根据条件$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OH}$，用X，Y表示出x，y，并且可以得到x+y=$-X+\frac{2\sqrt{3}}{3}Y$，可设x+y=z，从而可以得到$Y=\frac{\sqrt{3}}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}z$，该方程表示的直线的截距为$\frac{\sqrt{3}}{2}z$，可以看出截距最大时，z最大，并且根据图形可以看出当直线过E点时截距最大，这样求出点E的坐标带入直线方程即可求出z，即求出x+y的最大值．

解答 解：根据条件知，G，O，C三点共线，连接OE，则OE⊥GC；
∴分别以OC，OE所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则：

D（1，$\sqrt{3}$），H（-3，$-\sqrt{3}$）；
设P（X，Y），则：$（X，Y）=x（1，\sqrt{3}）+y（-3，-\sqrt{3}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{X=x-3y}\\{Y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}Y}\\{y=-\frac{1}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{6}Y}\end{array}\right.$；
∴$x+y=-X+\frac{2\sqrt{3}}{3}Y$；
设x+y=z，则：$Y=\frac{\sqrt{3}}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}z$，$\frac{\sqrt{3}}{2}z$表示在y轴上的截距；
当截距最大时，z取到最大值；
由图形可以看出当直线经过点E（$0，2\sqrt{3}$）时截距最大；
∴$2\sqrt{3}=0+\frac{\sqrt{3}}{2}z$；
∴z=4；
∴x+y的最大值为4．
故选：B．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用．