Question

某人坚持早晨在一条弃用的旧公路上步行锻炼身体，同时数数训练头脑，他先从某地向前走2步后退1步，再向前走4步后退2步，…，再向前走2ⁿ步后退n步，…当他走完第2011步后就一直往出发地走．此人从出发地到回到原地一共走了

 

步．

Answer 1

分析：前进的步数是S_n=

2(1-2n)

1-2

，后退的步数是T_n=

n(n+1)

2

，走n次总共走的步数是S_n-T_n；n=10时，前进的步数是s₁₀＞2011，知此人走了9次，后退了9次，再继续前进，然后返回；故去的时候走的步数是2011-

9×(9+1)

2

，沿原路返回，总步数乘2即可．

解答：解：此人前进的步数是S_n=

2(1-2n)

1-2

=2（2ⁿ-1），后退的步数是T_n=

n(n+1)

2

，
走n次总共走的步数是2（2ⁿ-1）-

n(n+1)

2

；
当n=10时，前进的步数是s₁₀=2046＞2011，故此人走了9次，后退9次后，继续前进，然后返回；
所以，去的时候走的步数是2011-

9×(9+1)

2

=2011-45=1966，
沿原路返回，则总步数是2×1966=3932．
故答案为：3932．

点评：本题考查了等差、等比数列的综合应用，解题时应仔细读题，弄清题意，细心解答，以免出错．