Question

【题目】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（ ，0）
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且 ＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设双曲线方程为 （a＞0，b＞0）．

由已知得 ．

故双曲线C的方程为 ．

（2）解：将 ．

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即 ．①

设A（xA，yA），B（xB，yB），

则 ，

而 = ．

于是 ．②

由①、②得 ．

故k的取值范围为 ．

【解析】（1）由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；（2）首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y得x的方程，由于直线与双曲线恒有两个不同的交点，则关于x的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出xA+xB ， xAxB ， 进而把条件 ＞2转化为k的不等式，又求出k的一个取值范围，最后求k的交集即可．