Question

甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一方比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）根据题意将第二局比赛结束时比赛停止的两种情况分析得到，然后利用互斥事件的概率公式求解; （Ⅱ）依题意知X的所有可能取值,然后利用独立事件的概率公式求解概率.
试题解析：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，      3分
解得或.又，所以.      5分
（Ⅱ）依题意知X的所有可能取值为2,4,6。    6分
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有
，
，
，    9分
则随机变量的分布列为

X	2	4	6
P

故.    12分
考点：1.互斥和独立事件的概率；2.分布列和期望.