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    某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
    64π
    3
    立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
    （Ⅰ）将y表示成r的函数f（r），并求该函数的定义域；
    （Ⅱ）讨论函数f（r）的单调性，并确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
    （参考公式：球的表面积公式S=4πr2，球的体积公式V=
    4
    3
    πr3，圆柱体的侧面积公式S=2πrl，圆柱体的体积公式V=πr2l）
    考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,球的体积和表面积
    专题：导数的综合应用
    分析：（Ⅰ）根据圆柱和球的体积公式即可建立函数关系；
    （Ⅱ）求函数的导数，利用导数的应用即可求出最优解．
    解答： 解：（Ⅰ）因为容器的体积为
    64π
    3
    立方米，所以
    4πr3
    3
    +πr2l=
    64
    3
    π    ，解得l=
    64
    3r2
    -
    4
    3
    r
    所以圆柱的侧面积为2πrl=2πr(
    64
    3r2
    -
    4
    3
    r)=
    128π
    3r
    -
    8πr2
    3
    ，
    两端两个半球的表面积之和为4πr2
    所以y=(
    128π
    3r
    -
    8πr2
    3
    )×3+4πr2×4=
    128π
    r
    +8πr2
    又l=
    64
    3r2
    -
    4
    3
    r＞0⇒r＜2
    4
    3
    ，所以定义域为(0，2
    4
    3
    )
    （Ⅱ）因为y′=-
    128π
    r2
    +16πr=
    16π(r3-8)
    r2

    所以令y′＞0，得2＜r＜2
    4
    3
    ；令y′＜0，得0＜r＜2
    所以当r=2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时：l=
    8
    3
    点评：本题是应用题，解决本题的关键是在理解意的基础上构建函数模型，在求函数最值时要注意函数的定义域；利用导数求最值是解决本题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C过坐标原点，且分别与x轴、y轴交于点A（6，0）、B（0，8）．
    （1）求圆C的方程，并指出圆心和圆的半径；
    （2）若点（x，y）∈圆C，求
    y+1
    x+7
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（2，1），向量
    b
    =（-1，k）．
    （1）若
    a
    ⊥
    b
    ，求k的值；
    （2）若
    a
    ∥
    b
    ，求
    a
    •
    b
    的值；
    （3）若
    a
    与
    b
    的夹角为135°，求k的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    1-a2
    =1的焦点在x轴上，若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1与正四面体D-ABC组成的几何体中，AA1=1，AB=2，O1是正三角形A1B1C1的中心
    （I）求证：DO1⊥平面A1B1C1；
    （Ⅱ）求平面ACD与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知Rt△ABC中（如图1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，沿AD折叠，使得折叠后∠BDC=90°，如图2所示．
    （1）求证：AD⊥平面BDC
    （2）求三棱锥A-BDC的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    全集U=R，集合A={x|-1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，
    求：（1）A∩B；（2）A∪B；（3）（∁UA）∩B．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ．
    （1）若cos
    π
    4
    cosφ-sin
    3π
    4
    sinφ=0，求φ的值；
    （2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于
    π
    3
    ，求函数f（x）的解析式；
    （3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，求b-a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设x，y∈R，
    i
    ，
    j
    分别为直角坐标系中与x轴、y轴正半轴同方向的单位向量，若向量
    a
    =x
    i
    +（y+2）
    j
    ，
    b
    =x
    i
    +（y-2）
    j
    ，且|
    a
    |+|
    b
    |=8．
    （Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
    （Ⅱ）设抛物线y=-
    x2
    12
    +3的顶点为P，焦点为F．直线l过点P与曲线C交于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得以AB为直径的圆过点F，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由？

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