Question

已知f（x）=tanx+log₂

1+x

1-x

+1．
（Ⅰ）求f（

1

2

）+f（-

1

2

）的值；
（Ⅱ）若f（sinθ）＞f（cosθ），θ为锐角，求θ的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数奇偶性的性质,函数的值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）容易求得f（-x）+f（x）=2，所以f(

1

2

)+f(-

1

2

)=2；
（Ⅱ）求f′（x），能够判断f′（x）＞0，所以得出f（x）在（-1，1）上单调递增，因为θ为锐角，所以由f（sinθ）＞f（cosθ）得到

sinθ＞cosθ 0＜θ＜ π 2

，解该不等式即得θ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（-x）+f（x）=tan（-x）+tanx+log2

1-x

1+x

+log2

1+x

1-x

+2=2；
∴f（

1

2

）+f(-

1

2

)=2；
（Ⅱ）解

1+x

1-x

＞0得，-1＜x＜1；
f′（x）=

1

cos2x

+

2

(1-x)(1+x)ln2

＞0；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
∴由f（sinθ）＞f（cosθ），θ为锐角得：

sinθ＞cosθ 0＜θ＜ π 2

；
∴

π

4

＜θ＜

π

2

；
∴θ的取值范围为（

π

4

，

π

2

）．

点评：考查tan（-x）=-tanx，对数的运算法则，以及（tanx）′，复合函数的求导，根据导数符号判断函数单调性的方法，正弦线和余弦线的应用．